Геометрия / Упражнения, решения/
Упражнения из учебника А.П. Киселёв Геометрия \ под ред. Н.А. Глаголева. 2009
Часть I
ГЛАВА 1
углы
1. Некоторый угол равен 38°20'; найти величину смежного с ним угла.
Решение , Ответ : 141°40'
2. Два угла ABC и CBD, имея общую вершину B и общую сторону BC, расположен так, что они не покрывают друг друга; угол ABC = 100°20', а угол CBD = 79°40'. Составляют ли стороны AB и BD прямую или ломаную?
Решение , Ответ : Стороны составляют прямую
3. Построить какой-нибудь угол и при помощи транспортира и линейки провести его биссектрису.
Решение
Доказать, что:
4. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.
Решение
5. Биссетрисы двух вертикальных углов составляют продолжение одна жругой.
Решение
6. Если при точке O прямой AB (рис. 28) построим по разные стороны от AB равные углы AOD и BOC, то стороны их OD и OC составляют одну прямую.
Решение
7. Если из точки O (рис. 28) проведём полупрямые AO, OD, OB, OC так, что угол AOC = углу DOB и угол AOD = углу COB, то OB есть продолжение OA и OD есть продолжение OC.
Решение
Указание. Надо применить§27, 2 и 3.
треугольники
Доказать теоремы:
1. В равнобедренном треугольние две медианы равны, две биссектрисы равны, две высоты равны.
Решение
2. Если из середины каждой из равных сторон равнобедренного треугольника восставим перпендикуляры до пересечения с другой из равных сторон, то эти перпендикуляры будут равны.
Решение
3. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла, отсекает от его сторон равные отрезки.
Решение
4. Медиана треугольника меньше его полупериметра.
Решение
5. Медиана трекгольника меньше полусуммы сторо, между которымм она заключается.
Указание. Продолжить медиану на расстояние, равное ей, полученную точку соединить с одним концом стороны, к которой проведена медиана, и рассмотреть образовавшуюся фигуру.
Решение
6. Сумма медиан трукгольника меньше периметра, но больше полупериметра.
Решение
7. Сумма диагоналей четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.
Решение
8. Доказать как прямую теорему что всякая точка, не лежащая на перпендикуляре, проведённом к отрезку прямой через его середину, неодинаково удалена от концов этого отрезка, а именно: она ближе к тому концу, с которым она расположена по одну сторону от перпендикуляра.
Решение
9. Доказать как прямую теорему, что всякая точка, не лежащая на биссектрисе угла, неодинаково отстоит от сторон его.
Решение
10. Медиана, исходящая из какой-нибудь вершины треугольника, равно отстоит от двух других его вершин.
Решение
11. На одной стороне угла А отложены отрезки AB и АС и на другой стороне отложены отрезки AB' = AB и AC' = AC. Доказать, что прямые BC' и BC пересекаются на биссектрисе угла А.
Решение
12. Вывести отсюда способ построения биссектрисы угла.
Решение
13. Если A' и A, B и B' - две пары точек, симметричнх относително какой-нибудь прямой XY, то четыре точки A, A', B, B' лежат на одной окружности.
Решение
14. Дан острый угол XOY и точка А внутри этого угла. Найти на стороне OB точку B и на стороне OY точку C так, чтобы периметр треугольника ABC был наименьший. Указание. Надо взять точки, симметричные с A относительно сторон OX и OY.
Решение
Задачи на построение: